miércoles, 11 de julio de 2012

Representación gráfica de los números Complejos

  
   Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta, (la recta de los números reales).

   Pero, a los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). Esto se debe a que un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par representa las coordenadas de un punto del plano. 
 Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

   Y es precisamente en ese plano que podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos, donde al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.



    
   Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.

   También se suele representar al número complejo mediante un vector de origen y extremo .


Veamos algunos ejemplos concretos: 
                                     
                                      



Actividad 






   Dados los siguientes números complejos:
z1 =–1+2iz2 =–2–3i
z3 =4–1iz4 =–5; z5 =3i;
   Represéntalos en el plano complejo.

   Para redondear un poco la idea dejo a continuación tres ejemplos de como representar un numero complejo en el eje cartesiano.
   Simplemente recuerden que en el par ordenado el primer valor se representa en el eje x, mientras que el segundo en el y. En conclusión sería (x ; y)




106 comentarios:

  1. uhh hasta que la encontre profe jaja,no se como es esto y no lo puedo encontrar el trabajo del integradora lo busco y no me sale una, ahora el lunes voy ala escuela y me explica bienn.un beso profe se la qiere una bocha !!!

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  2. Hola Topy, se que esto no es fácil para vos. Igual me alegro que te hallas animado a intentarlo. No te preocupes, el lunes lo charlamos en persona. Cariños

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  3. Gracias
    Me ayudo mucho en mi tarea
    No entiendo muy bien
    pero con esfuerzo lo lograre
    PDT: Me gusta tu pagina

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  4. Te super agradezco por tomarte el tiempo de realizar un comentario. TODO SE PUEDE COMPRENDER !!!! Lo más importante es que no te des por vencido. Estoy dispuesta a ayudarte dentro de mis posibilidades.

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  5. no entiendo la representacion del z3, por que la recta no deberia ir hacia el -4??'

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    1. Hola, Gracias por tomarte el trabajo de comentar. Te cuento que fue un error de tipeo.
      GRACIAS POR PREGUNTAR y ya lo solucione

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  6. Puedes poner ejemplos por favor?

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    1. Gracias por comentar, publique algunos ejemplos como fue tu pedido.
      Lamentablemente no lo pude colocar en este espacio, pero puedes visualizarlos desde la entrada.
      Espero que sean de ayuda.
      Saludos

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    2. Hola muy buena tu pagina, puedes resolverme una pregunta? si por ejemplo me dan un ejercicio asi:
      a) 6
      para localizarlo en el plano vendría a ser real?
      y en el lugar del numero imaginario cual seria su ubicacion?

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    3. Hola, gracias por comentar.

      Si solo figura un 6, es lo mismo que tener 6 + 0i
      (recuerda que el termino que no figura vale cero)

      Como indicas, solamente se representaría sobre el eje Real
      Saludos

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  7. Gracias profe sabrina muy buena y completa explicación, profesores como tu deberían de haber en todos las escuelas, así nadie le temería a la matemáticas..... LiNA

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  8. Lina, muchas gracias por tus palabras. Disfruto mucho enseñando, me parece mágico cuando un alumno me dice "Entendí".
    Espero que nuevamente recorras las publicaciones que realizo. Saludos

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  9. huy pero que gráficas mas dificiles

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    1. Gracias por comentar.
      Cada vez que estamos aprendiendo algo nuevo parece que nunca lo comprenderemos. No te dejes amedrentar !!!!!!
      Cualquier duda estoy para ayudarte.
      Saludos

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  10. gracias me ayudo mucho

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    1. Gracias por comentar. Que bueno que haya sido de ayuda. Espero que nuevamente recorras las publicaciones que realizo.
      Saludos

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    2. Yo tengo solo una duda y es que se que existe la forma rectangular y la forma polar de representar los números complejos pero quiero saber si existe otra forma aparte de esas dos, saludos desde México y espero me pueda ayudar.

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    3. hola yo no entiedo nada de mate y tengo examen el domingo de mate tres de prepa abierta como le ago

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    4. Una pena que no me indiques algún contenido de manera que pueda aunque sea orientarte en él. Intenta ser un poco mas preciso la próxima vez que escriba de manera que me sea posible ayudarte.
      Te envió saludos

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  11. Primeramente gracias por comentar.
    Te explico que existen diversas formas de expresar un número complejo, por mencionar alguna: la EXPONENCIAL y TRIGONOMÉTRICA.
    Si deseas saber como es el pasaje de una a otra expresión, te dejo el link de una publicación que realice referida al tema.

    http://sabrinamatematica.blogspot.com.ar/2013/04/diferentes-formas-de-expresar-un-numero.html

    Saludos al hermoso país de México y espero que nuevamente recorras las publicaciones que realizo

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  12. disculpa y si solo me dan la parte imaginaria por ejemplo Z=4i como lo resolveria?

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    1. Gracias por comentar.
      En tu caso la parte Real de tu Complejo es el 0 (cero), en consecuencia lo podes graficar como (0 ; 4) Cero en el eje X; 4 en el eje Y
      Espero que halla sido de ayuda.
      Saludos

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  13. profe denos ejemplo de multiplicacion de numeros comlejos representados en grafica
    graxiaz
    estudiantes de Colombia INSTITUCION EDUCATIVA CIUDAD LA HORMIGA
    esperamos su pronta rta

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    1. Yadi, gracias por tomarte el tiempo de comentar.
      Intentare realizar una publicación con el material que solicitas.
      Saludos al hermoso pueblo de Colombia

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    2. Teniendo en cuenta tu pedido, realice una publicación explicando como puede razonarse la multiplicación de dos números complejos en forma gráfica. Saludos nuevamente

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  14. Buenos dias profesora Sabrina, profe una consulta es que tengo unba exposicion sobre "Representacion Logica Grafica de Funciones Complejas" y no entiendo lo que he encontrado profe usted me podria explicar o decirme donde puedo encontrar este tema?

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    1. Buen día, gracias por tu consulta.
      En realidad te orientaría a que buscaras material relacionado con FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
      No es un tema sencillo de explicar, como habrás visto y actualmente no cuento con ninguna dirección o material impreso que te pueda orientar en la búsqueda.
      Saludos

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  15. ¡Muchas Gracias por compartirlo!
    En verdad que me ha ayudado mucho a comprenderlo, ya que está realmente excelentemente bien explicado y con palabras sumamente sencillas, es algo estupendo.
    ¡Saludos!

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    1. Gracias a vos por tus palabras.
      Me alegra que sean de ayuda las publicaciones que realizo. Espero que nuevamente las recorras.
      Saludos

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  16. Hola que tal???. Tengo una duda y la verdad llevo todo el día dandole vueltas, y acabe por aqui, jejeje. si tengo que representar el número imaginario i. o su opuesto - i, cuyo valor no conocemos... como tengo o puedo representarlo en los ejes cartesianos, en una grafica vamos. Ante todo gracias, seguire buscando.

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    1. Gracias por comentar y espero que mi respuesta no sea tarde.

      Te comento que si necesitas gráficar i debes tener presente que siempre el valor de los números Imaginarios corresponden al eje Y, mientras que los Reales al X.
      En conclusión, si necesitas graficar i, debes tener presente los siguientes aspectos:
      1) No hay valor Real, por ende vale 0
      2) El valor imaginario es 1 (recorda que no se escribe)

      En conclusión, para gráficar i las coordenadas del número complejo serán (0 ; 1)

      Por el contrario si necesitas graficar -i las coordenadas serán (0 ; -1) Ya que en este caso la unidad Imaginaria está multiplicada por menos 1.

      Saludos y espero que sea de utilidad la explicación

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  17. Si entendí muy bien me sirvió de mucho pero, ¿Me podrías ayudar con la representación de 1/2 + 5/4i? O como hacer para representarlo gráficamente. Muchas gracias :)

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    1. Para graficar cualquier número complejo, las condiciones siempre son las mismas: el eje X corresponde a los Reales, mientras que el eje Y a los Imaginarios.

      Los valores que posee tu complejo son racionales, por ende para graficarlos, te conviene expresarlo a partir de decimales

      En el eje X 1/2 = 0,5 En el eje Y 5/4 = 1,25

      En conclusión las coordenadas del extremo de tu complejo son (0,5 ; 1,25). Recuerda que el origen del mismo, posee las coordenadas (0 ; 0)

      Te envió saludos y espero que sea de ayuda la explicación que realice.

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  18. Hola buen días profesora. Sabrina he visto su material muy bueno vivo en Venezuela también soy profesor de matemática me gusto mucho el juego que tiene de tangram pienso usarlo con mis estudiante ya que todos tiene la canaima pero no puedo descargarlo debe de ser mi buscador bueno intentare luego mi nombre profesor Jacinto me gustaría estar e contacto con usted profe

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    1. Estimado Jacinto, gracias por sus palabras.
      Para descargar la imagen intente "copiandola", tal vez de está manera logre solucionar su dificultad.
      Respecto a seguir en contacto, puede escribirme un comentario donde indique su mail (por supuesto no va a ser publicado) y yo me pondré en contacto con usted. Considero que el intercambio de información será sumamente enriquecedor para ambos.
      Saludos a usted y al hermoso pueblo de Venezuela.

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  19. Respuestas
    1. Gracias por comentar y expresar tu opinión. Lamento que la publicación no halla sido útil. Tal vez no era lo que estabas precisando.
      Saludos y espero que a pesar de ello, vuelvas a recorrer las publicaciones que realizo

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  20. cuantos años tenes?

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    1. Hola Eduardo, lamento decirte que no contesto ese tipo de preguntas.
      Te envió saludos y espero que nuevamente recorras las publicaciones que realizo

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  21. GRACIAS SOY VALENTINA DESDE COLOMBIA UN SALUDO PUDE ENTENDERTE PERFECTAMENTE POR QUE NO ERES MI PROFESORAAA :'(

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  22. Holaa, necesito una ayuda, tengo que clasificar y graficar la raiz cubica de 3i, pero no se hacerlo, como es el procedimiento? Graciasss

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    1. Gracias por comentar.

      La explicación que estas buscando, puedes hallarla en una entrada de este mismo blog. Es una presentación de power point (hay dos temas diferentes, ambos son de ayuda frente a la pregunta que formulaste)

      En el siguiente enlace encontrás la explicación (copia y pega)

      http://sabrinamatematica.blogspot.com.ar/2013/05/raiz-enesima-de-un-numero-complejo.html

      Si luego de ver la explicación no comprendes, no dudes en escribirme. Saludos

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  23. Buenas noches, Hola Sabrina, mi inquietud es acerca de graficar una función compleja, que esta en términos de seno y de coseno, cos(x) + i sen(x) , entiendo con tu explicación que pondría en el eje real los términos de coseno y en el eje imaginario los términos del seno, pero aun no comprendo como hacer el mapeo. muchas gracias de antemano, y te elogio por tu maravilloso esfuerzo; desde Colombia muchas felicitaciones. :3

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    1. Hola Antonio.
      La explicación es sumamente compleja como para desarrollarla en pequeñas lineas y que logres comprender la. Es por este motivo, que te recomiendo que indagues en el siguiente enlace (copia lo y pega lo en tu buscador)
      http://www.uv.es/ivorra/Libros/Varcom.pdf

      El autor es Carlos Ivorra Castillo, y se centra justamente en las Funciones de Variable Compleja.

      Te envio saludos a tí y al hermoso pueblo de colombia.

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  24. interesantes sus aportes profesora

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    1. Muchas gracias por comentar.
      Espero que en otra oportunidad recorras las publicaciones que realizo.
      Saludos

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  25. Profesora, como graficaria la raiz cubica de el complejo (1/Raiz(2) , 1/Raiz(2))

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    1. Hola y gracias por comentar.
      Te comento que la explicación es un tanto larga como para realizar la en este pequeño apartado, es por esto, que te propongo veas en el siguiente enlace:
      http://sabrinamatematica.blogspot.com.ar/2013/05/raiz-enesima-de-un-numero-complejo.html
      (copia y pega). Primeramente se desarrolla la potencia y posterior la raíz de un número complejo.
      Siempre tene en cuenta que al momento de graficar las raíces de un número complejo obtenemos un polígono regular de n lados, siendo n precisamente el indice de la raíz. En tu caso obtenes 3 raíz construyendo un triángulo equilátero.
      Si posterior a ver la explicacion aún tenes dudas escribime nuevamente y con gusto las contestare dentro de mis posibilidades.
      Saludos

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  26. bueno mi dejaron una tarea de esto y no me explicaron nada estoy 4to numca habia hoy ido este tema

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    1. Hola Dahianny. Primero no te desesperes, es todo cuestión de practica y estar atenta a algunas cuestiones "especiales".
      Será un placer poder ayudarte, pero para poder hacerlo necesito que seas un poco más especifica con los ejercicios que tenes que resolver.
      No dudes en escribirme nuevamente y tratare de contestarte a la brevedad. Saludos

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  27. Como se grafica lo siguiente: z1=(-√ 2;√ 2)

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  28. Gracias por su Aporte desearia mas profesores enfocados en las tecnologias como la internet. Saludos desde Rio Negro!

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    1. Muchas gracias Daniel por tu comentario.
      Para mi es un placer colaborar.
      No dudes en escribirme.
      Saludos al hermoso pueblo de Río Negro

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  29. Hola, me gustaría aprender a hacer estos ejercicios, tengo que hacer 9 ejercicios de representar gráficamente,su conjugado y negativo de 1+3i y otros ejercicios parecidos son para el miercoles el problema es que no entiendo como :(

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    1. Hola, primeramente gracias por comentar

      Intentare explicar breve mente los ejercicios que me consultas

      1) Partimos del número complejo 1 + 3i

      Recorda que la componente Real se representa en el eje X y la componente Imaginaria en el Y

      En consecuencia el punto (1 ; 3) representa el extremo del número complejo y su origen se encuentra en el punto (0 ; 0)

      2) Su conjugado
      Para hallar el conjugado de un número complejo se "invierte" el signo de la componente Imaginaria

      En consecuencia el conjugado en este caso es 1 - 3i (1; -3)

      3) El negativo
      Para calcular el negativo de un número complejo se "invierten" los signos de ambas componentes

      En consecuencia obtenemos -1 - 3i (-1 ; -3)

      Para terminar la explicación, recordá que si una componente no se presenta de manera explicita en la expresión, significa que ella vale 0.

      En consecuencia por ejemplo en el complejo 3i su expresión binomica es (0 ; 3; mientras que para -2 es (-2 ; 0)

      Espero que la explicación sea de ayuda. No dudes en escribirme
      Saludos

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  30. Sabrina,Me encantó tu Blog. Felicitaciones !!!

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    1. MUCHAS GRACIAS ANA.
      Sinceramente amo enseñar y este Blog me permite acceder a un publico sumamente heterogéneo.
      Saludos y espero que en otra oportunidad recorras las publicaciones que realizo.

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  31. hola nesesito aser una pregunta los numeros complejos pueden ser representados sobre la recta numerica ...es para hoy y no encuentro esta pregunta en ningun lado me prodia ayudar porfavor

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    1. Gracias por comentar.
      En realidad los números complejos deben ser representados en el plano.
      Esto se debe a que poseen dos componentes (una en el eje X y otra en el Y)
      Saludos y no dudes en preguntar

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  32. Hola me está sirviendo mucho tu página gracias

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  33. Hola una pregunta ,¿como se representan los fraccionarios?.

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    1. Hola nuevamente.
      Por el momento.No tengo ninguna publicación referida a ese tema. Lo tendré en cuenta a futuro.
      Saludos

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    2. Hola Sabrina, me gusto mucho me facilito el trabajo del colegio, ojala sigas con esto, ya que esta padrisismo y la neta que me gusto.
      Saludos desde mi casa ;)

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    3. Hola Santiago. Gracias por tus palabras.
      Saludos

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  34. Hola gracias muchisimas gracis me has salvo la vida..... solo contigo de verdad que entiendo matematica

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  35. soy profe en panama me parece interesante tu blog y pedire a mis estudiantes lo visiten con mas frecuencia...hasta pronto siga asi de interesada por nuestros estudiantes...

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  36. Gracias me ayudo mucho
    Me gusta esta pagina.

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  37. como indentificar en forma grafico y polar

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    1. Gracias por comentar.
      Para poder graficar un Número Complejo en forma polar debes conocer su modulo y el ángulo que forma con el eje X.
      Si necesitas ayuda puedes encontrarla en
      http://sabrinamatematica.blogspot.com.ar/search/label/forma%20polar
      Te envió saludos

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  38. Excelente aportación Sabrina, encantado de conocer tu blog... tendrás una cuenta de correo en donde pueda contactarte?

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    1. Primeramente gracias por comentar.
      Te imaginarás que no puedo publicar mi mail abiertamente, pero te propongo que nuevamente te comuniques con migo por este mismo medio y vos me des el tuyo. Por supuesto no lo publicaré pero me contacto con vos por ese medio.
      Saludos

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  39. me gusto mucho su blog eh aprendido mejor dicho eh comprendido el tema saludos y espero que siga con su pagina

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    1. Muchas gracias por tus palabras. Sin duda son un mimo para el alma.
      Saludos y espero que vuelvas pronto recorrer las publicaciones

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  40. como hallo las raíces de un polinomio complejo
    y como grafico el polinomio en 3d en Matlab u Octave
    ejemplo:
    -75-49*z+11*z^2+z^3=0
    donde z = x + yi

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    1. Lamento no poder ayudarte con la actividad que planteas debido a que no tengo dominio sobre los programas que indicas.
      Saludos

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  41. ME SIRVIÓ MUCHO PROFESORA SOY DE PANAMÁ SE LE SALUDA

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  42. hola me gustaria que me ayudes con esta forma rectangular a polar -1/2 i

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    1. Primeramente gracias por comentar.
      Veamos la solución al ejercicio que planteas

      Primeramente para expresar un número Complejo en forma Polar, debemos recordar que necesitamos saber su módulo y el ángulo que genera con el eje de las X.

      Ahora, otra cuestión a tener en cuenta es que el número complejo - 1/2 i es en realidad 0 - 1/2i

      Ahora si la resolución:

      El módulo se calcula aplicando Pitágoras (la raíz cuadrada de la suma de las componentes elevadas al cuadrado).
      Esto sería: √ 0² + (-1/2)²= 1/2
      El ángulo que forma con el eje X es de 270º ya que coincide con el eje negativo de las Y

      Respuesta Final: 1/2 270º

      Espero que la explicación te sea de ayuda; pero si no es así, escribe nuevamente.

      Saludos

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  43. Hola una pregunta si me dicen que pase 2+3i a un par ordenado sería (2,3)?
    Y si me dicen 3i+8 sería (3,8) ????? Y gracias

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    1. Hola Gretchell.
      Tus respuestas son correctas, siempre el número Real corresponde a la coordenada en X y la Imaginaria es Y.
      Seguimos en contacto. Saludos

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  44. Hola.
    Precisaria saber porque cuando dividimos numeros complejos, dicha operación se realiza por 4?
    Gracias

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    1. Hola. Primeramente gracias por comentar.
      Lamento informarte que no puedo ayudarte con la pregunta que realizas debido a que necesito más datos para hacerlo.

      Si gustas escribí nuevamente con el ejercicio puntual al que haces referencia.

      (Te dejo el link de una presentación donde se explica el tema de manera más profunda: http://sabrinamatematica.blogspot.com.ar/2013/04/operaciones-basicas-con-numeros.html)

      Saludos

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  45. muy bien fue de gran ayuda... y bien clarificado para mis estudiantes ...

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  46. gracias me fue de gran utilidad ya que era para un informe i una ayuda de un trabajo te lo agradezco

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    1. Hola Jandry. Primeramente gracias por comentar.
      Me alegra saber que la publicación fue de ayuda.
      Saludos

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  47. Han pasado 6 años desde que usted publicó esto y ha alcanzado a muchas personas. Gracias por su material, me ha sido de mucha utilidad incluso para la universidad.

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    1. Hola Antonio y gracias por comentar esta publicación.
      No me habia dado cuenta del tiempo que había transcurrido.
      Te envió saludos y espero que nuevamente nos visites

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  48. HOLA quería consultarle que me recomienda para comenzar a ver estructuras algebraicas. Gracias

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    1. Hola Hector. Primeramente gracias por comentar.
      Los libros relacionados con álgebra y su estructura son muchos y de los más variados. Para remomendar alguno, es necesario conocer los conocimientos previos que posee el lector.
      A pesar de ello un buen comienzo para introducirnos en sus conceptos es el libro de Armando Rojo.
      Espero que sea de utilidad. Saludos

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  49. huy Sabrina que excelente aporte hacer compartiendo lo que parece que te gusta hacer... Ensenar.

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  50. Hola José. Gracias por tu comentario.
    En lo personal es un placer hacer esto.
    Saludos

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  51. Muchas gracias me ayudo mucho 😀💬

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  52. Muchas gracias me ayudo mucho 😀💬

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  53. Hola, consulta, que pasa en este caso si el par ordenado no incluye el símbolo de número imaginario, es decir, como un par normal de números enteros, en medio de una plano con números imaginarios, como este caso el z1 ejemplo: Z1=(-2,2); Z2=(3,-2i) Donde debería ir el eje y? Muchas gracias.

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  54. Hola, buenas tardes y gracias por comentar.

    Cuando un número se encuentra expresado a partir de un par ordenado sabemos que debemos ubicarlo en el plano. En relación a lo que vos indicas, tenga o no la letra "i" (que corresponde a los imaginarios) si está expresado mediante un par ordenado SIEMPRE la primer componente corresponde al eje X y la segunda al eje Y

    Por ejemplo (-2 ; -3) corresponde al número imaginario -2 -3i

    Saludos y espero que sea de utilidad la explicación

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  55. gracias me ayudo bastante con mi tarea.

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  56. Como puedo graficar un numero
    Por ejemplo (-4,0)

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    1. Para graficar un número complejo, tenes que tener presente que estamos hablando de un par ordenado. Esto significa que el primer valor corresponde al eje x y el segundo al eje y.

      Para graficar un par ordenado, en primera instancia te posicionas sobre el valor en x (en este caso -4); luego subís o bajas según el segundo valor (en este caso no lo haces, dado que es cero).

      En consecuencia, el punto indicado coincide con el eje x en X=-4

      Saludos y espero que sea de utilidad la explicación

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