Función Cuadrática

   Siempre es necesario repasar lo trabajado en clase; en esta oportunidad presentamos el concepto de Función Cuadrática de una manera distinta.
   Esperamos que la disfruten.

Mis alumnos trabajando con Geogebra

Untitled, a photo by Sabrina Dechima on Flickr.

Para finalizar un poco de humor

Los primeros pasos de mis alumnos utilizando Geogebra

   En nuestro sistema educativo se está produciendo una transformación innegable a partir de la llegada de las netbooks del Programa Conectar Igualdad. Pero dicha transformación requiere de un fuerte compromiso de los docentes, los cuales debemos actualizar nuestra forma de pensar, trabajo y sin duda planificar.
   Este cambio es necesario, ya que si partimos de los intereses de los docentes dejamos afuera del proceso a los verdaderos protagonistas del aprendizaje que son justamente nuestros alumnos. Necesitamos una pedagogía que ponga al joven en el centro de la escena educativa, que privilegie sus intereses, sus deseos, sus necesidades, que parta de su historia, de su contexto, de lo que sabe, que lo haga protagonista.
   La secuencia de actividades que se presenta a continuación tiene como objetivo que los alumnos comiencen a trabajar con un programa que se encuentra en las net que fueron entregadas y de esa manera generar que ellos sean como se menciona anteriormente un poco en protagonistas de lo que sucede en clase.

Primeros pasos en geogebra from Dirección General de Cultura y Educación

   Les presento a continuación algunas de las producciones realizadas por mis alumnos.

   GRACIAS A TODOS POR PARTICIPAR

Caracol de Pascal

   El caracol recibe su nombre de Etienne Pascal (1588 - 1651), padre de Blaise Pascal, aunque también fue estudiada por Gilles Personne de Roberval (1602 - 1676).                    

   Puede ser definido como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a los puntos de una circunferencia es constante,  estando la distancia medida en las cuerdas trazadas desde un punto fijo de la propia circunferencia. 

   Al trazar una cuerda con origen en el punto A de una circunferencia, la cortará en otro punto que representaremos por M. Los puntos P y Q de la semirrecta AM que cumplen la condición: 

PM = QM = b

pertenecen al caracol de Pascal, siendo b la constante. 

   La expresión en coordenadas cartesianas de esta curva es: 

   

   siendo a el radio de la circunferencia y b la constante que determina la distancia entre los puntos. 

   En coordenadas polares, el caracol se expresa mediante la siguiente igualdad:

   Cabe destacar que las expresiones antes mencionadas determinan una familia de curvas, las cuales dependen de la relaciones existentes entre los valores de a y b.

   Veamos algunos ejemplos de curvas que poseen nombre propio:

• Cadioide si b = 2a 
• Trisectriz si b = a

   Puede ser obtenido como la curva podaría de una circunferencia con respecto a un punto del plano. 

   Para hallarla podemos realizar el siguiente procedimiento:
1) Trazamos una circunferencia, un punto A que pertenece a ella y un punto B exterior.
2) Trazamos la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A (debe cumplir la condición de perpendicularidad con el radio trazado por el punto A)   
3) Trazamos la recta perpendicular a la tangente anterior por el punto B. Creamos el punto P como punto de intersección de las dos rectas anteriores.
4) Solicitar el lugar geométrico del punto P cuando A recorre la circunferencia
   De esta manera obtenemos la denominada Caracol de Pascal. 
   Recuerda que el lugar geométrico se actualiza de manera automática, es por ello que cambiará al variar las condiciones, para ello bastará con mover el punto B y acercarlo a la circunferencia o bien llevarlo hasta coincidir con el centro para obtener los correspondientes lugares.
   

    

   Otra forma de construirlo consiste en marcar un punto A en el plano y un punto M sobre una circunferencia. 
   Luego debemos trazar una nueva circunferencia centrada en el punto M y radio AM. Para finalizar solicitamos el lugar geométrico de esta circunferencia, cuando el punto M recorre la circunferencia inicial.
   Obtenemos la siguiente figura: 

    Si desea ampliar la información, puedes hacerlo en el siguiente enlace:  
http://revistasuma.es/IMG/pdf/30/103-111.pdf

Tangram Corazón (Cardiotangran)

   

   Antes de comenzar a desarrollar el concepto propiamente dicho, siempre es interesante saber un poco de su historia, es por eso que desarrollaremos en primera instancia el concepto en general.

   El tangran es un rompecabezas de origen chino que probablemente surgió hace tan sólo 200 ó 300 años. Fue llamado: "tabla de sabiduría" o "tabla de sagacidad" haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere. Originalmente, era muy popular y se consideraba juego para mujeres y niños. 

   Podemos señalar que la propia palabra "tangram" es un invento occidental; ya que se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang (palabra cantonesa) que significa "chino", con el sufijo inglés Gram (-grama) que significa "escrito" o "gráfico" (como en cardiograma).

   Para resaltar la importancia del llamado CARDIOTANGRAMA podemos señalar los diversos contenidos matemáticos que pueden ser trabajados a partir de realizar o analizar su construcción: nociones de radio, diámetro, cuerda, ángulos en el círculo, tangentes, secantes, segmentos circulares, relaciones de tamaño cuadrado-círculo, razones trigonométricas, área de regiones sombreadas. 

   Es importante señalar la relevancia que posee hoy en día, debido a que no se considera sólo un entretenimiento; se utiliza: en psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. Pero, específicamente, en el área de enseñanza de las matemáticas se usa para introducir conceptos de geometría plana y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños, ya que permite unificar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas. 

   Dar origen a las piezas que lo compone, se constituye en un material didáctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicación espacial, conceptualizar sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operar la notación algebraica, deducir relaciones, fórmulas para área y perímetro de figuras planas y un sin número de conceptos que abarcan desde el nivel preescolar, primaria y secundaria.

  Con este tangran se pueden realizar diversas figuras,ya que está formado por muchas piezas diferentes, por mencionar algunas: el cuadrado, paralelogramo, trapecio, diversos triángulos, y sectores circulares

 

Si deseas comenzar a jugar, te dejamos uno listo para imprimir, 

QUE LO DISFRUTES !!!

  

Recta de Euler

La Recta de Euler es una recta que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.
Euler demostró que en cualquier triángulo que los puntos antes mencionados son colineales; pero en los triángulos equiláteros, son coinciden.

Todo lo antes descripto puedes visualizarlo y al mismo tiempo verificarlo en la siguiente presentación.





Si desean conocer un poco más de la vida de Leonhard Euler, puedes hacerlo en una entrada anterior de este mismo blog

María Gaetana Agnesi

   Vida y obra de una mujer brillante, la cual a pesar de poseer dotes naturales para la matemática, dedico su vida al cuidado de los más humildes e indefensos.

   Su vida fue poco tempestuosa pero sumamente interesante, dado que habitualmente no era bien visto que una mujer sea instruida, pero en el ambiente de Italia del siglo XVIII esto no era así. Ya que, contrariamente a otros países en los cuales solo se toleraba la mujer NO analfabeta cuando morava en un convento o vestía hábitos de monja.

   Espero que la disfruten y si desean ampliar el material aquí expuesto, pueden acceder a la construcción de la Curva de Agnesi realizada en publicaciones anteriores. 

Maria Gaetana Agnesi from SabrinaDechima

La curva de Agnesi

   María Gaetana Agnesi, matemática, filósofa y lingüista, es conocida popularmente por la curva de la hechicera.
   La mal llamada curva de la hechicera la había estudiado previamente Fermat en 1703 y Grandi, en 1718, la bautizó con el nombre de versoria (en latín) o versiera (en italiano), refiriéndose al cabo que hace girar la vela de una nave.
   Cuando Colson aprende italiano para traducir al inglés una obra tan importante, confundió versiera con avversiera (hechicera) y lo tradujo como witch of Agnesi (la bruja Agnesi) produciéndose la paradoja de que una mujer que dedicó su vida y su fortuna  a los demás pase a la posteridad con el sobrenombre de bruja.
(Fuente: Exposición "La Mujer, innovadora de la Ciencia")


   A continuación puede visualizarse la construcción de la curva en el siguiente vídeo.

¿Qué propiedades posee?

   Esta curva tiene la propiedad de que, tanto a la izquierda como a la derecha se va acercando al eje OX, pero no llega nunca a tocarlo. Es decir, el eje OX es una asíntota horizontal de la curva.

   Siendo una curva infinita, si se calcula su área mediante integración, obtenemos que el área que encierra la curva con el eje OX es π.

   La curva de Agnesi es esencial en la integración de funciones racionales y se usó para calcular cifras decimales de π.

   Su expresión analítica es f(x)=a³/(x²+a²).

   Tres aspectos más a destacar a partir de su gráfica: 

• M es el punto máximo 
• A y B son los puntos de inflexión
• Tiene asíntota horizontal en y=0

   Todo lo antes expresado, puedes visualizarlo y comprobarlo en el siguiente applet 

Isaac Barrow

   Fue un teólogo, profesor y matemático inglés. Es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa, y por ser uno de los creadores del Teorema Fundamental del Calculo y su consecuencia directa la Regla de Barrow (muchas veces denominado como Segundo Teorema Fundamental del Calculo).  

  Su vida es desarrollada en el siguiente power, en él podemos observar los aspectos más relevantes de la misma.

Isaac barrow from SabrinaDechima

Ecuaciones de la recta

   Se desarrollan las distintas formas de expresar las ecuaciones de la recta a partir de poseer su vector dirección y un punto o dos puntos que pertenezcan a ella. 
   En cada caso además se desarrollan diversos ejemplos para afianzar lo desarrollado teóricamente

¿Cómo son los panales donde se elabora la miel?

  

 

Ya en la antigüedad, los romanos se preguntaban ¿por qué las abejas construían sus colmenas utilizando compartimientos hexagonales?                           
Por su parte en Grecia, un matemático Papus de Alejandría (248-305), también se cuestionaba lo mismo. Sin embargo, sólo siglos después se encontró la respuesta a esta pregunta, cuando se realizó la representación de figuras geométricas y el cálculo de las relaciones entre perímetro y área.


(Pappus de Alejandría) 


   Las abejas, al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdas individuales dentro de la colmena. Para aprovechar el espacio al máximo, la distribuyen de modo que formen un mosaico sin huecos ni salientes, lo que pueden lograr, únicamente  con triángulos, cuadrados o hexágonos  ¿Por qué eligieron entonces estos últimos, si a simple vista son más difíciles de construir? 

  

Para llegar a una solución se utilizó el concepto matemático que afirma: entre todos los polígonos regulares de similar perímetro, encierran más área aquellos que tienen mayor número de lados. Aplicando las relaciones, se modelizaron todas las posibles figuras geométricas y se encontró que un circulo es la figura que encierra el espacio mas grande en un contorno o perímetro determinado, porque su numero de lados es infinito.



   Si las celdas de una colmena fueran cilindros, al apoyarse una con otras, la presión las redistribuiría y haría que adopten forma hexagonal, que representa la manera más efectiva de subdividir el plano, utilizando el menor perímetro posible. De esta forma, gastando la mínima cantidad de cera, consiguen mayor  superficie para guardar su miel.    

   

   

Construcción, aspectos importantes y aplicación de las Parábolas

   
  La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas; es por ello que es tan importante su estudio.


   Para comenzar realicemos una breve introducción:  

   Haciendo un poco de historia, notaremos que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo (donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola), lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes; sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas; y es precisamente él quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, (propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales); pero cabe destacar que también fue estudiada por Arquímedes, en la búsqueda de una solución para la cuadratura del círculo. 

   Definición:


  La parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

      Pero, también se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

   



   
   Propiedades 

• Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.
• La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. (el lado recto es el segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz)
• Dado que la parábola tiene excentricidad . Todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

   Construcción de la Parábola a partir de su definición, utilizando el programa Cabri II plus 

   Veamos algunas de sus aplicaciones practicas

• Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco (la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco).

 

• La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

• Una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. 

• También será posible hallarla en puentes, juegos o simplemente la vida cotidiana 

   Si se desea ampliar el contenido, es posible acceder a algunas publicaciones previas en este mismo blog

• Cónicas . . . Evolución Histórica del concepto 
• Función Cuadrática 

La Matemática en la China Antigua

   

El desarrollo matemático de la India y China antigua es conocido sólo por escritores posteriores, pero también indican la existencia de una Matemática avanzada.

   Para los chinos, el número tenía un significado mágico, un rol significativo, y este culto los lleva a mirar en menos el calculo práctico. Por otra parte los hindúes tenían mucha habilidad con el cálculo, y gozaban, por decirlo así, con los números, al combinarlos y escribirlos. 

   A pesar de haber contribuido poco al desarrollo de la ciencia en la antigüedad, sus características prácticas permitieron al comienzo de nuestra era darle un avance a las ciencias relacionadas con el cálculo

La matemática en la Antigua China from SabrinaDechima

Donald en el país de las Matemáticas

   Nos encontramos ante un corto producido por Walt Disney en 1959, que nos introduce de forma muy amena en algunos aspectos simples de la utilidad de las matemáticas.


Ficha técnica de la película 

Titulo Original: Donald in the Mathmagic Land
Fecha: 26 de Junio de 1959
País: Estados Unidos
Estudios: Walt Disney Productions 
Director: Hamilton Luske
Asistente de Dirección: Dan Alguire  
Guión: Bill Berg, Milt Banta, Dr. Heinz Haber.
Animación: Jerry Hathcock, John Sibley, Bob Carlson, Eric Cleworth, Cliff Nordberg, Harvey Toombs, Bob McCrea, Dwight Carlisle, Boyd Fowler.
Efectos de Animación: Jack Boyd 
Fondos: Richard H. Thomas, Thelma Witmer, Jimi Trout, Collin Campbell.
Música: Buddy Baker
Voces Originales: Paul Frees (Narrador), Clarence Nash (Pato Donald)
Estudios: Walt Disney Productions
Duración: 27 min 
Idioma: Español


Breve desarrollo del Guión 

   Donald se introduce como un intrépido explorador en el país de las Matemágicas, en el que contempla sorprendido árboles con las raíces cuadradas, un río de números, un extraño animal con cuerpo de lápiz que lo reta a una partida de ta te ti, tres figuras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se juntan para formar un rostro, y ese rostro empieza a recitar los dígitos del número pi...
   Después, guiado por el narrador, viaja a la antigua Grecia para conocer a los Pitagóricos, creadores de la escala musical, y aprende las proporciones que se encuentran en la estrella de cinco puntas, proporciones que conducen al número áureo y al rectángulo perfecto. Después se nos muestra cómo tanto el pentagrama o estrella de cinco puntas como la proporción áurea se encuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha sido empleado por los artistas, arquitectos, escultores, pintores, en sus obras más famosas.
   También descubre el empleo de la lógica matemática en el ajedrez, y la presencia de las matemáticas y de la geometría en los juegos y deportes. Así descubre el billar, en su modalidad de carambola a tres bandas, y el narrador le enseña cómo calcular el modo de obtener carambolas sencillas usando las marcas que aparecen en los bordes de la mesa de billar y sumando y restando números y fracciones simples.
   Por último el corto nos enseña a utilizar la imaginación, ese poder de nuestra mente mediante el cual podemos ver las figuras geométricas, la esfera, el cono, el paraboloide, el cilindro... que luego tendrán aplicación en la óptica, ingeniería, mecánica, astronomía... Esa misma imaginación nos ayudará a ir abriendo las infinitas puertas del conocimiento que todavía nos quedan por abrir.

Se abordan estos temas:

• Pitágoras y la Música.
• El rectángulo de oro. El número de oro.
• El pentágono regular en la naturaleza.
• Las matemáticas en los juegos

   

   Pero la idea es que no sea una presentación teórica  sino que ustedes puedan disfrutar de la película y extraer sus propias conclusiones 

   Espero que la disfruten 

Algunos chistes para distenderse

   
    

Triángulo de Sierpinski

 

 
El matemático Waclaw Sierpinski, fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales (introdujo el que analizaremos  en 1919), hoy nos centraremos en una de las más conocidas.

   


El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar (propiedades especifica de  los fractales).

Se debe aclarar que se puede construir a partir de cualquier triángulo (para los ejemplos se utilizan triángulos equiláteros, dado que las construcciones son más bellas), y que no hay un único método para hacerlo; ya que como en la mayoría de los fractales, existen varias maneras de obtener la misma figura. 
Es por ello que explicaremos dos métodos totalmente diferentes 

• Construcción mediante homotecias

   En este caso, todos los procesos implican las tres homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2.

  Para poder visualizar su construcción de manera más sencilla se realizo el siguiente vídeo; de esta manera es posible poder seguirlos para poder reproducir la figura 

  
Construcción por Iteración 

Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomamos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. 

En las imágenes observamos hasta cuatro iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Ahora analicemos detalladamente cada uno de los pasos seguidos anteriormente para hallar una relación sumamente curiosa, para ello tomaremos como medida del lado 2a
     

CONCLUSIÓN 

Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro.

•  Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero.

•  En la geometría euclidiana  sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita.

•  Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski.

Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.



Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una  curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con 
tetraedros