sábado, 12 de mayo de 2012

Polinomios, introducción al concepto

   Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la físicaquímica, economía y las ciencias sociales.

   En matemáticas, es una expresión constituida por un conjunto finito de  variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como  exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

     Definición de polinomio


   Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes

ao es el término independiente

Grado de un polinomio

   Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable.
   El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3 + 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Casos Particulares

    Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
  
    Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x + 3xy
  Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

                 



     
   Polinomio completo


   Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
  Polinomios iguales


   Dos polinomios son iguales si verifican:

1) Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7

                            Tipos de polinomios según la cantidad de 
monomios que los componen


Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x + 5

Valor numérico o especialización de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Ejemplo
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ;     x = 1       x = -1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
    P(-1) = 2 · (-1)3 + 5 · (-1) – 3 = - 2 – 5 – 3 = - 10

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