La Divina Proporción

     Este concepto matemático sumamente antiguo está íntimamente ligado al arte. 

     Pero al mismo tiempo al crecimiento de las plantas, animales o nuestros propios cuerpos.

     Tan importante es este concepto, que diversos autores le han dedicado años de su vida a su estudio y enseñanza.

     A continuación presentamos un poema que le han dedicado

     A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosura

que claramente acatas la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,

flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

RAFAEL ALBERTI

Extraído de: "La Divina Proporción" de Luca Pacciolli
      

Herón de Alejandría

    Se desarrollan los aspectos más relevantes de uno de los más grandes inventores de toda la historia, Herón de Alejandría.

     Al transitar por la presentación, el lector podrá observar que llama poderosamente la atención saber que Herón fue el creador de los dispenser de golosinas o los traga monedas; al mismo tiempo que diseño los más curiosos sitemas con agua o vapor, por ejemplo las puertas automáticas o que un par de estatuas enciendan fuego en un altar.

     Espero que lo disfruten y como siempre aguardo sus comentario 

Herón de alejandría from Sabrina Dechima

Razón y Proporción

 

   El concepto de proporción geométrica fue establecido por Euclides en su obra "Elementos", el cual comprende 13 libros y son precisamente el V y VI los que tratan el concepto de proporciones.

  En la sexta definición del libro V, el propio Euclides la define de la siguiente manera

"Llámese proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón".

Pero sin duda la que posee mayor aceptación, dado que que considera más completa y comprensible es la que da Aristóteles: 

"La proporción es una igualdad des razones y requiere, de por lo menos, cuatro términos. Claramente, la proporción discreta requiere cuatro términos; pero también la continua, porque se sirve de uno de ellos como de dos y los menciona dos veces: por ejemplo, A es a B como B es a C. El termino B se menciona dos veces, de ahí que si B se pone dos veces, los términos de la proporción son cuatro" 

   La definición de proporción como igualdad de razones se sigue encontrando en los libros de matemática modernos, pero son abordados de manera diferente      

   La razón se define como el cociente de un número por otro. Por ejemplo, en a : b = c, donde c es precisamente la razón.
   Las proporciones por su parte se expresan actualmente de la misma manera que lo haría Aristóteles en sus propias obras, las cual fue definida como a : b = c : d; cabe destacar que los términos de la misma deben ser distintos para estar en presencia de una proporción discreta o discontinua. La expresión antes mencionada sería leída como "a es a b como c es a d".
    Ahora bien, observemos con un ejemplo numérico lo antes expresado: 12 : 6 = 10 : 5, en esta proporción en particular la razón es 2. Se puede comprobar que el producto de los  extremos (primer y ultimo termino) es igual al producto de los medios (segundo y tercer termino): a . d = b . c, volviendo al ejemplo mencionado 12 . 5 = 6 . 10.
   Por su parte la proporción continua se caracteriza por tener los medios iguales, a : b = b : c; otorgando valor numérico a las letras     
8 : 4 = 4 : 2.
   Cada uno de los términos medios de estas proporciones, se denominan media proporcional (o geométrica). En la proporción continua, como en toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al de los medios: a . c = b . b (en números 8 . 2 = 4 . 4). Por ende la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. 
   La proporción continua es una propiedad que se encuentra tomando tres términos consecutivos de una progresión geométrica (en el ejemplo dado: 2, 4, 8, 16 . . . )

   Fuente: Garcia Rogelio, "La proporción en el Arte". Jorge Baudino Ediciones (2013)

Función Cuadrática

   Siempre es necesario repasar lo trabajado en clase; en esta oportunidad presentamos el concepto de Función Cuadrática de una manera distinta.
   Esperamos que la disfruten.

Mis alumnos trabajando con Geogebra

Untitled, a photo by Sabrina Dechima on Flickr.

Para finalizar un poco de humor

Los primeros pasos de mis alumnos utilizando Geogebra

   En nuestro sistema educativo se está produciendo una transformación innegable a partir de la llegada de las netbooks del Programa Conectar Igualdad. Pero dicha transformación requiere de un fuerte compromiso de los docentes, los cuales debemos actualizar nuestra forma de pensar, trabajo y sin duda planificar.
   Este cambio es necesario, ya que si partimos de los intereses de los docentes dejamos afuera del proceso a los verdaderos protagonistas del aprendizaje que son justamente nuestros alumnos. Necesitamos una pedagogía que ponga al joven en el centro de la escena educativa, que privilegie sus intereses, sus deseos, sus necesidades, que parta de su historia, de su contexto, de lo que sabe, que lo haga protagonista.
   La secuencia de actividades que se presenta a continuación tiene como objetivo que los alumnos comiencen a trabajar con un programa que se encuentra en las net que fueron entregadas y de esa manera generar que ellos sean como se menciona anteriormente un poco en protagonistas de lo que sucede en clase.

Primeros pasos en geogebra from Dirección General de Cultura y Educación

   Les presento a continuación algunas de las producciones realizadas por mis alumnos.

   GRACIAS A TODOS POR PARTICIPAR

Caracol de Pascal

   El caracol recibe su nombre de Etienne Pascal (1588 - 1651), padre de Blaise Pascal, aunque también fue estudiada por Gilles Personne de Roberval (1602 - 1676).                    

   Puede ser definido como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a los puntos de una circunferencia es constante,  estando la distancia medida en las cuerdas trazadas desde un punto fijo de la propia circunferencia. 

   Al trazar una cuerda con origen en el punto A de una circunferencia, la cortará en otro punto que representaremos por M. Los puntos P y Q de la semirrecta AM que cumplen la condición: 

PM = QM = b

pertenecen al caracol de Pascal, siendo b la constante. 

   La expresión en coordenadas cartesianas de esta curva es: 

   

   siendo a el radio de la circunferencia y b la constante que determina la distancia entre los puntos. 

   En coordenadas polares, el caracol se expresa mediante la siguiente igualdad:

   Cabe destacar que las expresiones antes mencionadas determinan una familia de curvas, las cuales dependen de la relaciones existentes entre los valores de a y b.

   Veamos algunos ejemplos de curvas que poseen nombre propio:

• Cadioide si b = 2a 
• Trisectriz si b = a

   Puede ser obtenido como la curva podaría de una circunferencia con respecto a un punto del plano. 

   Para hallarla podemos realizar el siguiente procedimiento:
1) Trazamos una circunferencia, un punto A que pertenece a ella y un punto B exterior.
2) Trazamos la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A (debe cumplir la condición de perpendicularidad con el radio trazado por el punto A)   
3) Trazamos la recta perpendicular a la tangente anterior por el punto B. Creamos el punto P como punto de intersección de las dos rectas anteriores.
4) Solicitar el lugar geométrico del punto P cuando A recorre la circunferencia
   De esta manera obtenemos la denominada Caracol de Pascal. 
   Recuerda que el lugar geométrico se actualiza de manera automática, es por ello que cambiará al variar las condiciones, para ello bastará con mover el punto B y acercarlo a la circunferencia o bien llevarlo hasta coincidir con el centro para obtener los correspondientes lugares.
   

    

   Otra forma de construirlo consiste en marcar un punto A en el plano y un punto M sobre una circunferencia. 
   Luego debemos trazar una nueva circunferencia centrada en el punto M y radio AM. Para finalizar solicitamos el lugar geométrico de esta circunferencia, cuando el punto M recorre la circunferencia inicial.
   Obtenemos la siguiente figura: 

    Si desea ampliar la información, puedes hacerlo en el siguiente enlace:  
http://revistasuma.es/IMG/pdf/30/103-111.pdf