Sistemas de Ecuaciones Lineales

   En esta oportunidad abordaremos el tema Sistemas de Ecuaciones de una manera diferente, dado que en álgebra lineal hay un teorema que permite calcular el número de soluciones de un sistema en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema que se esta analizando.

   Dicho teorema lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché quien lo enunció y del matemático alemán Ferdinand George Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron. Es por esto, que en otros idiomas recibe otros nombres; por mencionar algunos: teorema de Rouché-Capelli,  teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.

   A grandes rasgos, el teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posean el mismo rango; además si el rango antes mencionado es igual al número de incógnitas será compatible determinado ó será indeterminado si el rango es menor a la cantidad de incógnitas y por último será indeterminado cuando el rango de ambas matrices sea distinto entre ellos. 

   En el siguiente power se presentan los aspectos más importantes de este teorema. Así mismo se presentan diversos ejemplos con dos y tres incógnitas, a la vez que se presentan los sistemas en 2 y 3 dimensiones.

   

   De esta manera se busca unir al álgebra con la geometría, dado que en aspectos tan abstractos como este, es necesario buscar una manera más sencilla de presentarlos.

                           

                                 Sistemas de Ecuaciones Lineales from SabrinaDechima

   Espero sus comentarios 

Representación gráfica de los números Complejos

  

   Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta, (la recta de los números reales).

   Pero, a los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). Esto se debe a que un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par representa las coordenadas de un punto del plano.  Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

   Y es precisamente en ese plano que podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos, donde al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

    
   Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.

   También se suele representar al número complejo mediante un vector de origen y extremo .

Veamos algunos ejemplos concretos: 
                                     
                                      

Actividad 

   Dados los siguientes números complejos:

z₁ =–1+2i; z₂ =–2–3i; 

z₃ =4–1i; z₄ =–5; z5 =3i;

   Represéntalos en el plano complejo.

   Para redondear un poco la idea dejo a continuación tres ejemplos de como representar un numero complejo en el eje cartesiano.
   Simplemente recuerden que en el par ordenado el primer valor se representa en el eje x, mientras que el segundo en el y. En conclusión sería (x ; y)

Algunos Chistes como para distraerse un poco

 

- Jaimito, ¿qué te pasa?

- Que no sé escribir el número 33, señorita.

- Es muy fácil, primero un 3 y después otro 3.
- Sí señorita, pero no sé cual de los dos 3 se escribe primero

División de Numeros Complejos

Ejercicios con números Complejos

 

Suma y resta con números complejos

Recorda que

Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Suma de números complejos

   Los imaginarios puros se suman y restas de a misma forma que cualquier otra cantidad algebraica. Los coeficientes de términos similares se suman o restan algebraicamente, por ejemplo

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta de números complejos

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí (se resuelve de la misma forma que la suma) 

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =   (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Sistemas de ecuaciones de Segundo Grado

   

   Antes de comenzar a resolver estos sistemas es necesario mencionar un concepto sumamente importante

Ecuaciones de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0    con    a ≠ 0

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:  

Ahora si, retomamos la explicación:

   La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:


1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer  grado

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los   valores correspondientes de la otra incógnita

   Apliquemos lo antes mencionado a un ejemplo concreto

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

     y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.  (En el lado derecho se muestran los cálculos auxiliares) 

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

   (Recorda  que en el el paso 1 hallamos que y = 7 − x) 

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3