Razón y Proporción

 

   El concepto de proporción geométrica fue establecido por Euclides en su obra "Elementos", el cual comprende 13 libros y son precisamente el V y VI los que tratan el concepto de proporciones.

  En la sexta definición del libro V, el propio Euclides la define de la siguiente manera

"Llámese proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón".

Pero sin duda la que posee mayor aceptación, dado que que considera más completa y comprensible es la que da Aristóteles: 

"La proporción es una igualdad des razones y requiere, de por lo menos, cuatro términos. Claramente, la proporción discreta requiere cuatro términos; pero también la continua, porque se sirve de uno de ellos como de dos y los menciona dos veces: por ejemplo, A es a B como B es a C. El termino B se menciona dos veces, de ahí que si B se pone dos veces, los términos de la proporción son cuatro" 

   La definición de proporción como igualdad de razones se sigue encontrando en los libros de matemática modernos, pero son abordados de manera diferente      

   La razón se define como el cociente de un número por otro. Por ejemplo, en a : b = c, donde c es precisamente la razón.
   Las proporciones por su parte se expresan actualmente de la misma manera que lo haría Aristóteles en sus propias obras, las cual fue definida como a : b = c : d; cabe destacar que los términos de la misma deben ser distintos para estar en presencia de una proporción discreta o discontinua. La expresión antes mencionada sería leída como "a es a b como c es a d".
    Ahora bien, observemos con un ejemplo numérico lo antes expresado: 12 : 6 = 10 : 5, en esta proporción en particular la razón es 2. Se puede comprobar que el producto de los  extremos (primer y ultimo termino) es igual al producto de los medios (segundo y tercer termino): a . d = b . c, volviendo al ejemplo mencionado 12 . 5 = 6 . 10.
   Por su parte la proporción continua se caracteriza por tener los medios iguales, a : b = b : c; otorgando valor numérico a las letras     
8 : 4 = 4 : 2.
   Cada uno de los términos medios de estas proporciones, se denominan media proporcional (o geométrica). En la proporción continua, como en toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al de los medios: a . c = b . b (en números 8 . 2 = 4 . 4). Por ende la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. 
   La proporción continua es una propiedad que se encuentra tomando tres términos consecutivos de una progresión geométrica (en el ejemplo dado: 2, 4, 8, 16 . . . )

   Fuente: Garcia Rogelio, "La proporción en el Arte". Jorge Baudino Ediciones (2013)

Función Cuadrática

   Siempre es necesario repasar lo trabajado en clase; en esta oportunidad presentamos el concepto de Función Cuadrática de una manera distinta.
   Esperamos que la disfruten.

Mis alumnos trabajando con Geogebra

Untitled, a photo by Sabrina Dechima on Flickr.

Para finalizar un poco de humor

Los primeros pasos de mis alumnos utilizando Geogebra

   En nuestro sistema educativo se está produciendo una transformación innegable a partir de la llegada de las netbooks del Programa Conectar Igualdad. Pero dicha transformación requiere de un fuerte compromiso de los docentes, los cuales debemos actualizar nuestra forma de pensar, trabajo y sin duda planificar.
   Este cambio es necesario, ya que si partimos de los intereses de los docentes dejamos afuera del proceso a los verdaderos protagonistas del aprendizaje que son justamente nuestros alumnos. Necesitamos una pedagogía que ponga al joven en el centro de la escena educativa, que privilegie sus intereses, sus deseos, sus necesidades, que parta de su historia, de su contexto, de lo que sabe, que lo haga protagonista.
   La secuencia de actividades que se presenta a continuación tiene como objetivo que los alumnos comiencen a trabajar con un programa que se encuentra en las net que fueron entregadas y de esa manera generar que ellos sean como se menciona anteriormente un poco en protagonistas de lo que sucede en clase.

Primeros pasos en geogebra from Dirección General de Cultura y Educación

   Les presento a continuación algunas de las producciones realizadas por mis alumnos.

   GRACIAS A TODOS POR PARTICIPAR

Caracol de Pascal

   El caracol recibe su nombre de Etienne Pascal (1588 - 1651), padre de Blaise Pascal, aunque también fue estudiada por Gilles Personne de Roberval (1602 - 1676).                    

   Puede ser definido como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a los puntos de una circunferencia es constante,  estando la distancia medida en las cuerdas trazadas desde un punto fijo de la propia circunferencia. 

   Al trazar una cuerda con origen en el punto A de una circunferencia, la cortará en otro punto que representaremos por M. Los puntos P y Q de la semirrecta AM que cumplen la condición: 

PM = QM = b

pertenecen al caracol de Pascal, siendo b la constante. 

   La expresión en coordenadas cartesianas de esta curva es: 

   

   siendo a el radio de la circunferencia y b la constante que determina la distancia entre los puntos. 

   En coordenadas polares, el caracol se expresa mediante la siguiente igualdad:

   Cabe destacar que las expresiones antes mencionadas determinan una familia de curvas, las cuales dependen de la relaciones existentes entre los valores de a y b.

   Veamos algunos ejemplos de curvas que poseen nombre propio:

• Cadioide si b = 2a 
• Trisectriz si b = a

   Puede ser obtenido como la curva podaría de una circunferencia con respecto a un punto del plano. 

   Para hallarla podemos realizar el siguiente procedimiento:
1) Trazamos una circunferencia, un punto A que pertenece a ella y un punto B exterior.
2) Trazamos la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A (debe cumplir la condición de perpendicularidad con el radio trazado por el punto A)   
3) Trazamos la recta perpendicular a la tangente anterior por el punto B. Creamos el punto P como punto de intersección de las dos rectas anteriores.
4) Solicitar el lugar geométrico del punto P cuando A recorre la circunferencia
   De esta manera obtenemos la denominada Caracol de Pascal. 
   Recuerda que el lugar geométrico se actualiza de manera automática, es por ello que cambiará al variar las condiciones, para ello bastará con mover el punto B y acercarlo a la circunferencia o bien llevarlo hasta coincidir con el centro para obtener los correspondientes lugares.
   

    

   Otra forma de construirlo consiste en marcar un punto A en el plano y un punto M sobre una circunferencia. 
   Luego debemos trazar una nueva circunferencia centrada en el punto M y radio AM. Para finalizar solicitamos el lugar geométrico de esta circunferencia, cuando el punto M recorre la circunferencia inicial.
   Obtenemos la siguiente figura: 

    Si desea ampliar la información, puedes hacerlo en el siguiente enlace:  
http://revistasuma.es/IMG/pdf/30/103-111.pdf

Tangram Corazón (Cardiotangran)

   

   Antes de comenzar a desarrollar el concepto propiamente dicho, siempre es interesante saber un poco de su historia, es por eso que desarrollaremos en primera instancia el concepto en general.

   El tangran es un rompecabezas de origen chino que probablemente surgió hace tan sólo 200 ó 300 años. Fue llamado: "tabla de sabiduría" o "tabla de sagacidad" haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere. Originalmente, era muy popular y se consideraba juego para mujeres y niños. 

   Podemos señalar que la propia palabra "tangram" es un invento occidental; ya que se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang (palabra cantonesa) que significa "chino", con el sufijo inglés Gram (-grama) que significa "escrito" o "gráfico" (como en cardiograma).

   Para resaltar la importancia del llamado CARDIOTANGRAMA podemos señalar los diversos contenidos matemáticos que pueden ser trabajados a partir de realizar o analizar su construcción: nociones de radio, diámetro, cuerda, ángulos en el círculo, tangentes, secantes, segmentos circulares, relaciones de tamaño cuadrado-círculo, razones trigonométricas, área de regiones sombreadas. 

   Es importante señalar la relevancia que posee hoy en día, debido a que no se considera sólo un entretenimiento; se utiliza: en psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. Pero, específicamente, en el área de enseñanza de las matemáticas se usa para introducir conceptos de geometría plana y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños, ya que permite unificar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas. 

   Dar origen a las piezas que lo compone, se constituye en un material didáctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicación espacial, conceptualizar sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operar la notación algebraica, deducir relaciones, fórmulas para área y perímetro de figuras planas y un sin número de conceptos que abarcan desde el nivel preescolar, primaria y secundaria.

  Con este tangran se pueden realizar diversas figuras,ya que está formado por muchas piezas diferentes, por mencionar algunas: el cuadrado, paralelogramo, trapecio, diversos triángulos, y sectores circulares

 

Si deseas comenzar a jugar, te dejamos uno listo para imprimir, 

QUE LO DISFRUTES !!!

  

Recta de Euler

La Recta de Euler es una recta que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.
Euler demostró que en cualquier triángulo que los puntos antes mencionados son colineales; pero en los triángulos equiláteros, son coinciden.

Todo lo antes descripto puedes visualizarlo y al mismo tiempo verificarlo en la siguiente presentación.





Si desean conocer un poco más de la vida de Leonhard Euler, puedes hacerlo en una entrada anterior de este mismo blog