Ecuaciones de la recta

   Se desarrollan las distintas formas de expresar las ecuaciones de la recta a partir de poseer su vector dirección y un punto o dos puntos que pertenezcan a ella. 
   En cada caso además se desarrollan diversos ejemplos para afianzar lo desarrollado teóricamente

¿Cómo son los panales donde se elabora la miel?

  

 

Ya en la antigüedad, los romanos se preguntaban ¿por qué las abejas construían sus colmenas utilizando compartimientos hexagonales?                           
Por su parte en Grecia, un matemático Papus de Alejandría (248-305), también se cuestionaba lo mismo. Sin embargo, sólo siglos después se encontró la respuesta a esta pregunta, cuando se realizó la representación de figuras geométricas y el cálculo de las relaciones entre perímetro y área.


(Pappus de Alejandría) 


   Las abejas, al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdas individuales dentro de la colmena. Para aprovechar el espacio al máximo, la distribuyen de modo que formen un mosaico sin huecos ni salientes, lo que pueden lograr, únicamente  con triángulos, cuadrados o hexágonos  ¿Por qué eligieron entonces estos últimos, si a simple vista son más difíciles de construir? 

  

Para llegar a una solución se utilizó el concepto matemático que afirma: entre todos los polígonos regulares de similar perímetro, encierran más área aquellos que tienen mayor número de lados. Aplicando las relaciones, se modelizaron todas las posibles figuras geométricas y se encontró que un circulo es la figura que encierra el espacio mas grande en un contorno o perímetro determinado, porque su numero de lados es infinito.



   Si las celdas de una colmena fueran cilindros, al apoyarse una con otras, la presión las redistribuiría y haría que adopten forma hexagonal, que representa la manera más efectiva de subdividir el plano, utilizando el menor perímetro posible. De esta forma, gastando la mínima cantidad de cera, consiguen mayor  superficie para guardar su miel.    

   

   

Construcción, aspectos importantes y aplicación de las Parábolas

   
  La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas; es por ello que es tan importante su estudio.


   Para comenzar realicemos una breve introducción:  

   Haciendo un poco de historia, notaremos que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo (donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola), lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes; sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas; y es precisamente él quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, (propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales); pero cabe destacar que también fue estudiada por Arquímedes, en la búsqueda de una solución para la cuadratura del círculo. 

   Definición:


  La parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

      Pero, también se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

   



   
   Propiedades 

• Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.
• La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. (el lado recto es el segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz)
• Dado que la parábola tiene excentricidad . Todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

   Construcción de la Parábola a partir de su definición, utilizando el programa Cabri II plus 

   Veamos algunas de sus aplicaciones practicas

• Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco (la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco).

 

• La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

• Una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. 

• También será posible hallarla en puentes, juegos o simplemente la vida cotidiana 

   Si se desea ampliar el contenido, es posible acceder a algunas publicaciones previas en este mismo blog

• Cónicas . . . Evolución Histórica del concepto 
• Función Cuadrática 

La Matemática en la China Antigua

   

El desarrollo matemático de la India y China antigua es conocido sólo por escritores posteriores, pero también indican la existencia de una Matemática avanzada.

   Para los chinos, el número tenía un significado mágico, un rol significativo, y este culto los lleva a mirar en menos el calculo práctico. Por otra parte los hindúes tenían mucha habilidad con el cálculo, y gozaban, por decirlo así, con los números, al combinarlos y escribirlos. 

   A pesar de haber contribuido poco al desarrollo de la ciencia en la antigüedad, sus características prácticas permitieron al comienzo de nuestra era darle un avance a las ciencias relacionadas con el cálculo

La matemática en la Antigua China from SabrinaDechima

Donald en el país de las Matemáticas

   Nos encontramos ante un corto producido por Walt Disney en 1959, que nos introduce de forma muy amena en algunos aspectos simples de la utilidad de las matemáticas.


Ficha técnica de la película 

Titulo Original: Donald in the Mathmagic Land
Fecha: 26 de Junio de 1959
País: Estados Unidos
Estudios: Walt Disney Productions 
Director: Hamilton Luske
Asistente de Dirección: Dan Alguire  
Guión: Bill Berg, Milt Banta, Dr. Heinz Haber.
Animación: Jerry Hathcock, John Sibley, Bob Carlson, Eric Cleworth, Cliff Nordberg, Harvey Toombs, Bob McCrea, Dwight Carlisle, Boyd Fowler.
Efectos de Animación: Jack Boyd 
Fondos: Richard H. Thomas, Thelma Witmer, Jimi Trout, Collin Campbell.
Música: Buddy Baker
Voces Originales: Paul Frees (Narrador), Clarence Nash (Pato Donald)
Estudios: Walt Disney Productions
Duración: 27 min 
Idioma: Español


Breve desarrollo del Guión 

   Donald se introduce como un intrépido explorador en el país de las Matemágicas, en el que contempla sorprendido árboles con las raíces cuadradas, un río de números, un extraño animal con cuerpo de lápiz que lo reta a una partida de ta te ti, tres figuras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se juntan para formar un rostro, y ese rostro empieza a recitar los dígitos del número pi...
   Después, guiado por el narrador, viaja a la antigua Grecia para conocer a los Pitagóricos, creadores de la escala musical, y aprende las proporciones que se encuentran en la estrella de cinco puntas, proporciones que conducen al número áureo y al rectángulo perfecto. Después se nos muestra cómo tanto el pentagrama o estrella de cinco puntas como la proporción áurea se encuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha sido empleado por los artistas, arquitectos, escultores, pintores, en sus obras más famosas.
   También descubre el empleo de la lógica matemática en el ajedrez, y la presencia de las matemáticas y de la geometría en los juegos y deportes. Así descubre el billar, en su modalidad de carambola a tres bandas, y el narrador le enseña cómo calcular el modo de obtener carambolas sencillas usando las marcas que aparecen en los bordes de la mesa de billar y sumando y restando números y fracciones simples.
   Por último el corto nos enseña a utilizar la imaginación, ese poder de nuestra mente mediante el cual podemos ver las figuras geométricas, la esfera, el cono, el paraboloide, el cilindro... que luego tendrán aplicación en la óptica, ingeniería, mecánica, astronomía... Esa misma imaginación nos ayudará a ir abriendo las infinitas puertas del conocimiento que todavía nos quedan por abrir.

Se abordan estos temas:

• Pitágoras y la Música.
• El rectángulo de oro. El número de oro.
• El pentágono regular en la naturaleza.
• Las matemáticas en los juegos

   

   Pero la idea es que no sea una presentación teórica  sino que ustedes puedan disfrutar de la película y extraer sus propias conclusiones 

   Espero que la disfruten 

Algunos chistes para distenderse

   
    

Triángulo de Sierpinski

 

 
El matemático Waclaw Sierpinski, fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales (introdujo el que analizaremos  en 1919), hoy nos centraremos en una de las más conocidas.

   


El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar (propiedades especifica de  los fractales).

Se debe aclarar que se puede construir a partir de cualquier triángulo (para los ejemplos se utilizan triángulos equiláteros, dado que las construcciones son más bellas), y que no hay un único método para hacerlo; ya que como en la mayoría de los fractales, existen varias maneras de obtener la misma figura. 
Es por ello que explicaremos dos métodos totalmente diferentes 

• Construcción mediante homotecias

   En este caso, todos los procesos implican las tres homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2.

  Para poder visualizar su construcción de manera más sencilla se realizo el siguiente vídeo; de esta manera es posible poder seguirlos para poder reproducir la figura 

  
Construcción por Iteración 

Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomamos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. 

En las imágenes observamos hasta cuatro iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Ahora analicemos detalladamente cada uno de los pasos seguidos anteriormente para hallar una relación sumamente curiosa, para ello tomaremos como medida del lado 2a
     

CONCLUSIÓN 

Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro.

•  Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero.

•  En la geometría euclidiana  sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita.

•  Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski.

Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.



Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una  curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con 
tetraedros