Polinomios, introducción al concepto

   Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

   En matemáticas, es una expresión constituida por un conjunto finito de  variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como  exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

     Definición de polinomio

   Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a₁ x¹ + a₀

Siendo a_n, a_{n -1} ... a₁ , a_o números, llamados coeficientes

a_o es el término independiente

Grado de un polinomio

   Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable.

   El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x²+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Casos Particulares

    Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

  

    Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x + 3xy

      

  Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

                 


     
   Polinomio completo

   Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

  Polinomios iguales


   Dos polinomios son iguales si verifican:

1) Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x³

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x³ − 2x − 7

                            Tipos de polinomios según la cantidad de 

monomios que los componen

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x²

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x² + 3x

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x² + 3x + 5

Valor numérico o especialización de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Ejemplo

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ;     x = 1       x = -1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

    P(-1) = 2 · (-1)³ + 5 · (-1) – 3 = - 2 – 5 – 3 = - 10

Introducción al concepto de Números Complejos

Numeros complejos

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Operaciones con Irracionales aplicadas al calculo del perímetro y área de un rectángulo

   Antes de comenzar, recordemos algunos conceptos básicos:

              ¿Que es el perímetro y que es el área de una figura cualquiera?


Perímetro de una figura : es la longitud del contorno de la figura

   El método general para conocer el perímetro de cualquier figura es sumar todos los lados que la delimitan, ya sean lados rectos o arcos de circunferencia

Concepto de área de una figura : El área de una figura, es la cantidad de superficie que encierran sus limites

   Superficie : Es el conjunto de puntos que encierra su contorno
   Área: Es un número que representa la cantidad de veces que Cabe LA UNIDAD dentro de su contorno

  Los rectángulos tienen dos pares de lados iguales y paralelos entre sí y ángulos interiores rectos. Al lado "horizontal" se lo llama "base" y al lado "vertical" se lo llama "altura"


   En base a lo antes expuesto podemos observar que el perímetro del rectángulo puede ser calculado a partir de diversas formulas, las cuales son todas equivalentes (eso quiere decir, que todas poseen el mismo conjunto solución)

Formulas que permiten calcular el perímetro del rectángulo:

a + a + b + b      =     2.a + 2.b     =     2. (a + b) 

Formula que permite calcular el área de un rectángulo 

Base . altura    =     a . b

   Apliquemos lo antes expuesto a algunos ejemplos concretos: 

Ejemplo 1

Si a = 6 cm y  b = 2 cm

Perímetro : 2 . (6 cm + 2 cm) = 2. 8 cm = 16 cm 

Área : 6 cm . 2 cm = 12 

Ejemplo 2

Ejemplo 3 

División de Radicales

Es una tradición en Matemática no dejar "nunca" un número irracional en los denominadores de fracciones.

Esto se debe a que no podemos realizar una división (por métodos numéricos, o sea con lápiz y papel) si el divisor tiene infinitos decimales como ocurre con los números irracionales.

Es por este motivo que es preciso realizar una operación para racionalizar (convertir en racional) el denominador, para luego sí proceder a dividir.

   Lo que ocurre al racionalizar es que un número irracional aparece en el numerador, pero esto no es mayor  problema pues al ser racional el denominador podemos efectuar la división con tanta precisión como queramos a condición de tomar los decimales suficientes del numerador irracional.

   Se aconseja siempre extraer todos los factores que sean posibles de la raíz a eliminar antes de proceder con el caso de racionalización que corresponda.

   Hay  tres  casos de  racionalización  de  denominadores:

A)   Primer Caso: Hay una raíz cuadrada en el denominador:

B)   Segundo Caso: Hay una raíz no cuadrada en el denominador:

Tercer  Caso:  Hay un Binomio con una o mas raíces cuadradas en el denominador  

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado

Blog  consultado  para  la  realización de  esta  publicación 

http://es.scribd.com/doc/14399439/3-Numeros-Irracionales

Multiplicación de Radicales

  Lo importante de destacar es que los radicales                                         pueden ser de igual o distinto indice

   Comenzaremos a analizar que sucede si los indices de los radicales son iguales

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible

Ahora analicemos que sucede si los radicales son distintos

Reducción de radicales a índice común

1) Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2) Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

icio que consiste en multiplicar el índice y e

   Para multiplicar raíces de distinto índice debe hallarse el "Mínimo Común Índice" que es el mínimo común múltiplo de los índices.                                              

   Luego se realiza un artificio que consiste en multiplicar el índice y el exponente de cada radical por un mismo número. Este número es el necesario para llevar el índice de la raíz al Mínimo Común Índice. Al hacer esta  operación  de  multiplicar  por  un  mismo  número  al  exponente  y  al  índice  de una  raíz  no  se  altera  su valor, de modo que es un paso correcto. 

   Por último se asocian las dos raíces (que ya quedan de igual índice) en un sólo radical. El resultado final debe expresarse con los factores extraídos del radical

Suma de Irracionales

Radicales semejantes

Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes

Ejercicios de sumas y restas de radicales

Blog consultado

http://www.vitutor.net/

Extracción e Introducción de Factores del Radicando

 Extracción de factores de un radical

Se descompone el radicando en factores

1) Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando

2) Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando

3) Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando

Introducir factores a un radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical

Blog consultado

http://www.vitutor.net/