Operaciones con Irracionales aplicadas al calculo del perímetro y área de un rectángulo

   Antes de comenzar, recordemos algunos conceptos básicos:

              ¿Que es el perímetro y que es el área de una figura cualquiera?


Perímetro de una figura : es la longitud del contorno de la figura

   El método general para conocer el perímetro de cualquier figura es sumar todos los lados que la delimitan, ya sean lados rectos o arcos de circunferencia

Concepto de área de una figura : El área de una figura, es la cantidad de superficie que encierran sus limites

   Superficie : Es el conjunto de puntos que encierra su contorno
   Área: Es un número que representa la cantidad de veces que Cabe LA UNIDAD dentro de su contorno

  Los rectángulos tienen dos pares de lados iguales y paralelos entre sí y ángulos interiores rectos. Al lado "horizontal" se lo llama "base" y al lado "vertical" se lo llama "altura"


   En base a lo antes expuesto podemos observar que el perímetro del rectángulo puede ser calculado a partir de diversas formulas, las cuales son todas equivalentes (eso quiere decir, que todas poseen el mismo conjunto solución)

Formulas que permiten calcular el perímetro del rectángulo:

a + a + b + b      =     2.a + 2.b     =     2. (a + b) 

Formula que permite calcular el área de un rectángulo 

Base . altura    =     a . b

   Apliquemos lo antes expuesto a algunos ejemplos concretos: 

Ejemplo 1

Si a = 6 cm y  b = 2 cm

Perímetro : 2 . (6 cm + 2 cm) = 2. 8 cm = 16 cm 

Área : 6 cm . 2 cm = 12 

Ejemplo 2

Ejemplo 3 

División de Radicales

Es una tradición en Matemática no dejar "nunca" un número irracional en los denominadores de fracciones.

Esto se debe a que no podemos realizar una división (por métodos numéricos, o sea con lápiz y papel) si el divisor tiene infinitos decimales como ocurre con los números irracionales.

Es por este motivo que es preciso realizar una operación para racionalizar (convertir en racional) el denominador, para luego sí proceder a dividir.

   Lo que ocurre al racionalizar es que un número irracional aparece en el numerador, pero esto no es mayor  problema pues al ser racional el denominador podemos efectuar la división con tanta precisión como queramos a condición de tomar los decimales suficientes del numerador irracional.

   Se aconseja siempre extraer todos los factores que sean posibles de la raíz a eliminar antes de proceder con el caso de racionalización que corresponda.

   Hay  tres  casos de  racionalización  de  denominadores:

A)   Primer Caso: Hay una raíz cuadrada en el denominador:

B)   Segundo Caso: Hay una raíz no cuadrada en el denominador:

Tercer  Caso:  Hay un Binomio con una o mas raíces cuadradas en el denominador  

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado

Blog  consultado  para  la  realización de  esta  publicación 

http://es.scribd.com/doc/14399439/3-Numeros-Irracionales

Multiplicación de Radicales

  Lo importante de destacar es que los radicales                                         pueden ser de igual o distinto indice

   Comenzaremos a analizar que sucede si los indices de los radicales son iguales

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible

Ahora analicemos que sucede si los radicales son distintos

Reducción de radicales a índice común

1) Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2) Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

icio que consiste en multiplicar el índice y e

   Para multiplicar raíces de distinto índice debe hallarse el "Mínimo Común Índice" que es el mínimo común múltiplo de los índices.                                              

   Luego se realiza un artificio que consiste en multiplicar el índice y el exponente de cada radical por un mismo número. Este número es el necesario para llevar el índice de la raíz al Mínimo Común Índice. Al hacer esta  operación  de  multiplicar  por  un  mismo  número  al  exponente  y  al  índice  de una  raíz  no  se  altera  su valor, de modo que es un paso correcto. 

   Por último se asocian las dos raíces (que ya quedan de igual índice) en un sólo radical. El resultado final debe expresarse con los factores extraídos del radical

Suma de Irracionales

Radicales semejantes

Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes

Ejercicios de sumas y restas de radicales

Blog consultado

http://www.vitutor.net/

Extracción e Introducción de Factores del Radicando

 Extracción de factores de un radical

Se descompone el radicando en factores

1) Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando

2) Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando

3) Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando

Introducir factores a un radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical

Blog consultado

http://www.vitutor.net/

Construcción del Heptádecagono Regular (Polígono de 17 lados)

   

   Como ya explicamos en publicaciones anteriores, fue Gauss el primero que demostró que es posible construir este polígono regular con regla y compás con solo 19 años de edad. Tiempo después escribía lo siguiente:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

   El problema de su demostración es que no fue constructiva, es decir, no nos mostró los pasos que hay que seguir para construirlo. Fue Johannes Erchinger[i] el encargado de mostrarnos por primera vez un método para construir el heptadecágono consistente en 64 pasos.

   En el vídeo que se presenta a continuación, podrá observar los pasos que son necesarios para la construcción del Heptádecagono regular; tal y como lo plantearon los antiguos Griegos: utilizando solo REGLA y COMPÁS, por supuesto en esta presentación se utiliza un software especial para geometría como es el Cabri II Plus.

   Espero que lo disfruten y dejen sus comentarios

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[i] Johannes Erchinger, fue el creador del primer método real de construcción del heptadecágono regular, algunos años después del trabajo realizado por Gauss. Toma 64 pasos la construcción de mencionado polígono

Biografía del: "Príncipe de las Matemáticas"

   Biografía de Carl  Friedrich Gauss "El Príncipe de las Matemáticas"

   Sin duda alguna, fue uno de los cuatro matemáticos mas importantes de toda la historia, sus aportes revolucionaron diversos aspectos de la misma; además nutrió otras ciencias como la física o filosofía.
 
   Fue considerado un niño prodigio ya que con apenas 10 años pudo calcular la suma de los primeros 100 números naturales, pero eso no es todo; ya que a los 19 años resolvió un problema que llevaba casi 2000 años sin resolución, la construcción del Heptádecagono regular (polígono de 17 lados), utilizando solo regla y compás (el problema había sido planteado por los griegos en la antigüedad).

   Si te interesa saber un poco mas de su vida, observa el siguiente vídeo, ya que en él se presentan los aspectos mas interesantes de su vida.