Ejercicios para aplicar el Teorema de De Moivre

    Como se menciono en publicaciones anteriores, la aplicación directa de este Teorema es calcular la potencia enésima de cualquier Numero complejo; es por ello que a continuación se plantean diversos ejercicios que permitirán aplicarlo

Algunos más complicados 

Teorema de De Moivre

   Este Teorema, fue creado por el matemático francés Abraham de Moivre (26 de mayo de 1667, Champagne - 27 de noviembre de 1754, Londres); fue conocido por dos cuestiones: una es este teorema y la otra es que  pudo predecir el día de su muerte a través de un cálculo matemático. Seguramente, esto te genera curiosidad; al parecer observó que cada día dormía quince minutos más que la noche anterior y calculó que moriría aquel día que durmiera veinticuatro horas; por lo cual citó que ocurriría 73 días después: el 27 de septiembre de 1754, siendo esto verdad.

    Pero volvamos al concepto que nos ocupa, este Teorema es de suma importancia en el análisis matemático, ya que a partir de él podremos calcular potencias encimas de Números Complejos.

    En la siguiente presentación se puede observar lo engorroso que sería estimar una potencia de un indice elevado 

Potencia de complejos from SabrinaDechima

   No es nuestro objetivo demostrar el Teorema, sino solo explicar la utilización del mismo; es por ello que señalaremos los tres aspectos más relevantes que permite 

Dados los Números Complejos  Z y W se verifica

   Veamos un ejemplo concreto de aplicación 

    Esta operación podría hacerse utilizando la propiedad distributiva, pero debido a las potencias involucradas, este procedimiento sería muy tedioso. Por este motivo, utilizaremos el teorema de De Moivre 

   Para comenzar, hallaremos el módulo y argumento de cada número complejo  

   Reemplazamos en la expresión general

POR PROPIEDAD DEL MÓDULO 

POR PROPIEDAD DEL ARGUMENTO 

POR LO TANTO 

LA RESPUESTA BUSCADA 

    Esperamos que la explicación haya sido lo suficientemente clara, de manera que sea comprendido el concepto

   Si o deseas puedes practicar con los siguientes ejercicios propuestos 

Operaciones básicas con números complejos

   Siempre las operaciones con Números Complejos son dificultosas.

   En la presentación que se encuentra a continuación se pueden visualizar las operaciones básicas : suma, resta, multiplicación y división. Se presentan diversas actividades con sus respectivas respuestas.

   También se desarrolla breve mente el concepto de potencia (a partir del Triángulo de Pascal); pero como las limitaciones a partir de desarrollar las potencias es muy fácil de visualizar es que en futuras publicaciones se tratara el Teorema de De Moivre, el cual nos ayudara frente esta dificultad

Diferentes formas de Expresar un Número Complejo

   
  Siempre se menciona que los números complejos son muy útiles en diversos campos, veamos algunos ejemplos:

   La fuerza de un campo electromagnético es un ejemplo en el que es necesario utilizar números complejos; ya que ellos tienen dos componentes: la eléctrica y la magnética  por lo tanto, es necesario un par de números reales para definirlos. Además, la aplicación de dos campos electromagnéticos en serie cumple las mismas propiedades que la multiplicación de los dos complejos que definen a cada uno de estos campos.

   En Electrónica, ya que el estado de un circuito se define por dos números reales, el voltaje y la corriente

   Para resolver ecuaciones en las que se relacionan ciertas funciones y las pendientes de las rectas que pueden dibujarse en su gráfico, ya que para ello es necesario utilizar dominios complejos a fin de encontrar las soluciones

      

Distintas formas de expresar un número complejo from Sabrina Dechima